Les Métamatériaux Mécaniques

François Balty, Alix Cordier, Solomon Musibau, Romain Vandepopeliere

  • 2017 - ULB - BA3 Physique

Cette page est basée sur l’article de Corentin Coulais, Chris Kettenis et Martin van Hecke: “A characteristic length scale causes anomalous size effects and boundary programmability in mechanical metamaterials” paru dans le journal Nature Physics. Globalement cet article porte sur la “découverte” suivante : certains métamatériaux mécaniques sont caractérisés par une échelle de longueur bien précise qui entraîne une relation spéciale entre le comportement qu'ils adoptent (mécanique ou élastique) et leur taille. Il sera alors possible de contrôler la relation entre comportement et taille en faisant varier l'échelle de longueur caractéristique. Celle-ci peut en effet être modifiée par l'architecture du métamatériau mécanique et les conditions aux limites auxquelles il est soumis.
Dans un premier temps, nous allons essayer de comprendre exactement ce que cela signifie à travers plusieurs expériences que nous analyseront théoriquement. Nous nous attarderons ensuite sur l'exploitation des propriétés des métamatériaux mécaniques à des applications courantes.

Théorie et Expérience

Qu’est ce qu’un métamatériau? En particulier, un métamatériau mécanique ?

Dans la matière “ordinaire”, nous sommes habitués à ce que le plus petit constituant soit de taille négligeable par rapport au système global (par exemple, une maille dans un cristal). Dans un métamatériau , la taille de ce “bloc” de base est comparable à la taille du système; il est macroscopique et ne peut pas être considéré comme infinitésimal.
Il est important de remarquer que cette “cellule unité” est imaginée et créée par l’homme; ainsi, les métamatériaux sont totalement artificiels. Ces particularités engendrent des propriétés fascinantes qu’on ne retrouve nulle part ailleurs dans la nature.
Les métamatériaux mécaniques sont un sous-ensemble des métamatériaux: leurs propriétés sont basées sur un mécanisme, c'est-à-dire qu'ils sont dessinés et construits de manière à “imiter” un certain mécanisme. Comme on le sait, un mécanisme est un assemblage d’éléments rigides liés entre-eux par des articulations ou charnières et qui est conçu pour avoir un mouvement de rotation global de tous ces éléments. Dans le cas des métamatériaux mécaniques, les charnières sont remplacées par des pièces flexibles reliant les éléments rigides entre-eux. On peut élargir ce concept en disant que ce sont des matériaux possédant des propriétés mécaniques particulières.
En résumé, un métamatériau mécanique possède la même géométrie que son mécanisme sous-jacent et se comporte comme celui-ci lors d’une déformation légère homogène. Cette capacité à se déformer (qui est donc propre à sa géométrie) est typiquement ce qui est intéressant chez ces métamatériaux.
Cependant, le métamatériau mécanique se comporte comme son mécanisme associé dans le cas de petits système lorsqu’il est soumis à une contrainte homogène. Lorsque la taille du matériau est grande ou lorsque qu’il est soumis à des déformations inhomogènes, son comportement ne suit plus celui du mécanisme sous-jacent et on observe une forme d’élasticité.

Production
Nous avons vu plus haut que les métamatériaux sont totalement imaginés et créés par l'homme. En pratique, une méthode de production est l'impression 3D. On implémente sur ordinateur la forme du métamatériau qu'on cherche à étudier et ensuite on peut l'imprimer. Il y a plusieurs techniques, soit la matière qui est imprimée est directement celle que l'on veut, soit il faut s'y prendre autrement: on imprime un moule dans lequel on vient couler la matière que l'on souhaite étudier. Dans le cas du modèle que l'on étudiera ici, l'objet a été directement imprimé, à partir d'un mélange flexible de polyéthylène et de polyuréthane.

Expérience et résultats

Pour illustrer le comportement d'un métamatériau s'éloignant du mécanisme sur lequel il est calqué, on considère d'abord un forçage inhomogène comme montré sur l'image suivante.


Source: [1]

Une vidéo de l'expérience est disponible via ce lien.

L'analyse de l'expérience pour le grand matériau ci-dessus est assez compliquée, pour plus de facilité, on utilisera ce modèle de métamatériaux à 1D, c'est-à-dire qu'on analysera l'expérience pour une métachaîne constituées de carrés contre-rotatifs, comme montré ci-dessous.


Source: [1]

On peut visualiser l' expérience de forçage inhomogène, sur la chaîne cette fois-ci, à la fin de la vidéo sur le forçage pour le matérieau 2D. L'étude de mouvements se fait à partir de logiciels adaptés. On filme la scène que l'on souhaite étudier, on cible un point en mouvement et le logiciel le suit sur chaques images, nous donnant ainsi sa trajectoire.
Regardons maintenant les résultats de cette expérience pour la méta-chaîne.
On remarque que lorsque l’on comprime (ou étire) cette “méta-chaine”, il y a une décroissance exponentielle de ce mécanisme de rotation au fur et à mesure que l’on s’éloigne du bord (i.e. l’endroit où l’on applique la contrainte). Par exemple, si on prend une chaine de taille N=14, et que l’on étudie la rotation de chaque bloc par rapport à l’état initial symétrique, on observe le résultat suivant.


Source: [1]

(à chaque n correspondent forcément deux carrés)
Vu la manière dont le matériau se déforme, on voit qu’à une distance n donnée, le carré du haut a subi une rotation dans un sens tandis que le carré du bas qui lui est associé à subi une rotation égale mais dans le sens contraire , d’où les deux “courbes” orange et bleue.
On voit que la rotation ω d'un carré dépend clairement de n et cette dépendance est en fait exponentielle (dans les deux directions puisqu’il y a des contraintes aux deux bords).
Pour ce système, on peut estimer et caractériser une longueur typique de décroissance (decay) à n=2. Dès lors, on peut étudier cette longueur de décroissance n_d en fonction de la longueur de la chaîne et on voit que les grands système ont tous la même n_d. Autrement dit, cette longueur de decay converge vers une certaine valeur quand N augmente, appelons n* cette valeur. C’est une longueur caractéristique et elle suggère que les déformations élastiques du mécanisme sous-jacent sont des particularités générales des métamatériaux mécaniques.

Conséquences sur la constante de rappel

Le fait que chaque carré tourne de manière différente en fonction de sa position dans la chaîne a une conséquence sur la constante de rappel du matériau.
Lorsqu’on applique une contrainte à un continuum élastique, par exemple une chaîne de ressorts, la déformation qui s’opère est uniformément répartie sur l’ensemble du système (elle est homogène). Cela implique que la constante de rappel effective est inversement proportionnelle à la taille du système (autrement dit, plus le système est grand, moins il est rigide).
Considérons maintenant notre métamatériau constitué de carrés contre-rotatifs reliés entre eux par des ressorts torsionnels.
Lorsqu’on a effectué une déformation de notre métamatériau, on a observé un taux de rotation des carrés variant le long du matériau, et donc une déformation qui n’était plus homogène.
Par conséquent, on peut se douter que lorsqu’on effectuera des expériences sur notre métamatériau (et sur les métamatériaux mécaniques en général) pour déterminer leur constante de rappel comme une fonction de la taille du système, on n’observera plus exactement le même comportement que dans le cas du continuum élastique.
En effet, voilà les résultats des expériences à 1D:


Source: [1]

Dans le cas de petits systèmes (c-à-d pour un nombre de carré N assez petit), la constante de rappel pour un N impair (appelons la k_o) est beaucoup plus grande que la constante de rappel pour un N pair (k_e). De plus, dans un premier temps, k_o décroît avec N tandis que k_e augmente avec N. La raideur k_e atteint un pic pour un certain N pair, que l’on nomme n_p. Pour un N plus grand, k_e se rapproche de k_o et les deux décroissent avec la taille du système.
En fait, ce comportement est identique à 2 et 3D.

En résumé, un métamatériau mécanique a donc une nature hybride: il se déforme de façon inhomogène en se comportant comme le mécanisme sous-jacent selon lequel il a été fabriqué dans le cas d’un petit système (1er régime), et il se déforme de façon homogène et élastique pour un système de plus grande taille (2nd régime). Par conséquent, en augmentant la taille de notre métamatériau, on peut progressivement passer d’un régime à un autre.

Longueurs caractéristiques et leur exploitation

Dans nos explications précédentes, nous avons introduit n* et n_p, auxquelles on donne le nom de longueurs caractéristiques. Ces longueurs caractéristiques sont propres à chaque métamatériau mécanique et révèlent la transition d’un régime à l’autre, évoquée dans le point précédent.
Pour bien comprendre ce qui définit ces valeurs, on considère un métamatériau mécanique dont les jonctions (charnières) entre ses éléments rigides sont sujettes à la flexion (constante de rappel C_b), l’étirement (k_j) et le cisaillement (C_s). Il est important de remarquer qu'il s'agit d'un cas plus général que précédemment: quand on considérait notre métachaîne à carrés contre-rotatifs, les charnières étaient uniquement sujettes à la flexion.
Il y a toujours une “compétition” entre déformations suivant le mécanisme, et déformations élastiques, mais la possibilité d’étirement et de cisaillement des charnières change le poids des différentes déformations dans la compétition (on n’a plus affaire au même problème). En effet, dans le cas précédent, la flexion des charnières encourageait le comportement mécanique du matériau, tandis que maintenant, s'ajoutent l'étirement et le cisaillement des charnières, qui encouragent le comportement élastique.

On choisit par exemple de considérer le métamatériau avec ces charnières, mais ayant extérieurement la même structure que la méta-chaîne considérée au début.


Source: [1]

L’équilibre mécanique du métamatériau est régi par des équations, qui sont contrôlées par les rapports
α=(1+\frac{L}{l})^2\frac{C_s}{4C_b}
β=\frac{k_jL^2}{4C_b}

qui permettent de prendre en compte les différents poids de chaque effet (torsion, étirement, cisaillement). Le cas particulier qu’on a traité tout à l’heure avec la méta-chaîne correspond en fait à α, β tendant vers l’infini (il ne reste alors que les effets de torsion, flexion).
Ce modèle décrit très bien ce qu’on observe expérimentalement pour des métamatériaux mécaniques.
En fonction du poids de chaque effet (déformation) qui encourage soit un comportement mécanique, soit un comportement élastique sous une contrainte, l’échelle de longueur caractéristique (n* et n_p) est plus ou moins grande. On peut s’assurer de ça en fabriquant des métamatériaux mécaniques avec des valeurs de α et β (qu’on peut appeler paramètres de contrôle) différentes, et en vérifiant que n* et n_p varient bien. On peut en effet facilement modifier les valeurs de α et bêta car celles-ci dépendent de la géométrie de la charnière du métamatériau.
Exemple: dans le cas de notre méta-chaîne, augmenter la longueur de la charnière augmente α et β.
On se rend alors compte que dans le cas où α et β sont grands, la flexion/torsion qui encourage la déformation mécanique peut très facilement avoir lieu sans beaucoup d’énergie vu que les effets (déformations) d’étirement et de cisaillement ont à peine lieu. Par conséquent on reste plus longtemps dans un régime mécanique, n* et n_p augmentent. Par contre, pour α et β petits, les flexions/torsions deviennent plus coûteuses en énergie vu qu’un étirement et un cisaillement (favorisant un comportement élastique) ont aussi lieu, on passe plus vite à un régime élastique, n* et n_p diminuent.
On se rend compte qu’en fait, n* ne dépend que de α tandis que n_p dépend de α, β et des conditions aux limites.

Le développement pour obtenir les expressions exactes de n* et n_p est fastidieux et pour information, mène aux résultats suivants:
n*~ √α
n_p ~ √α pour α/β«1 et n_p ~ √β pour α/β»1

Disons à présent quelques mots sur la dépendance de la longueur caractéristique n_p en les conditions aux limites.
On reprend encore notre méta-chaîne généralisée, et on applique à ses extrémités F et F’ en alternance, avec F’=cF (on impose donc des conditions aux limites).


Source: [1]

Remarque: sur la 1ère vidéo visionnée (métamatériau à 2D sous contrainte inhomogène), on avait c=0.

n_p va varier en fonction de c car appliquer les conditions aux limites modifie le poids des effets élastiques des charnières par rapport aux effets des flexions (et modifie donc β). Les conditions aux limites contrôlent donc n_p.
Par exemple, toujours dans le cas de la méta-chaîne, si on applique des conditions aux limites compatibles avec la texture contrarotative du mécanisme sous-jacent (c'est-à-dire c = -1), la longueur de transition n_p entre le comportement mécanique et le comportement élastique augmente, tandis que des conditions aux limites fortement incompatibles conduisent à une diminution de n_p et donc à un passage rapide au comportement élastique ordinaire.

Remarque importante: bien qu'on ait toujours pris notre méta-chaîne (généralisée) à carrés contre-rotatifs comme exemple dans cette section, les résultats obtenus sont aussi valables pour les autres types métamatériaux mécaniques dont les charnières sont propices à la flexion, l'étirement et le cisaillement.

Conclusion
Lorsqu'on conçoit un métamatériau mécanique, on le fait pour que celui-ci adopte le comportement du mécanisme sous-jacent choisi. On exploite alors cette correspondance avec le mécanisme dans une application particulière. On souhaite donc que notre métamatériau bénéficie autant que possible des propriétés du mécanisme, c'est-à-dire que les longueurs caractéristiques soient les plus grandes possible.
On utilise donc notre connaissance des relations entre les propriétés des charnières du matériau, les conditions aux limites et les longueurs caractéristiques (vues dans les points précédents): on explore les conceptions des charnières et les conditions aux limites pour que la fonctionnalité du métamatériau persiste dans les grands échantillons, survive à l'hybridation élastique dans la limite de grande échelle.

Applications des métamatériaux

Dans cette section, nous allons passer en revue les différents types de métamatériaux mécaniques [2] ainsi que leurs propriétés pour comprendre quelques applications possibles de chacun d'eux.

Métamatériaux à coefficient de Poisson négatif - Métamatériaux auxétiques

Auxétique = qui s’étire dans la direction verticale, lorsqu’il est soumis à un étirement horizontal par exemple. [3]

Le coefficient de Poisson définit la façon dont un matériau se comporte transversalement lorsqu’il est compressé longitudinalement. Pour de nombreux matériaux, le coefficient de Poisson est positif, ce qui coïncide avec notre idée intuitive selon laquelle un matériau qui est comprimé longitudinalement devrait s'élargir dans la direction orthogonale. Cependant certains matériaux conçus de façon artificielle possèdent un coefficient de Poisson négatif : lorsque le matériau est comprimé longitudinalement, il se comprime dans la direction orthogonale. Cela s'explique par leur structure apparentée à une charnière, qui fléchit lorsqu'on l'étire. [4] [5]

Vidéo d'un tel métamatériau:https://www.youtube.com/watch?v=5wpRszZZhYQ

Applications:

  • Domaine biomédical: bandage

    • Source: [6]

    Bandage qui, en fonction du gonflement de la blessure, délivrera un agent anti-inflammatoire ou non.

  • Domaine militaire: gilet pare-balles

    • On peut augmenter la résistance aux fractures en augmentant la capacité d’absorption d’énergie.

  • Domaine sportif: chaussures de course

    • Quand on court, les pieds subissent de nombreux chocs. Pour combattre cela, on peut créer des semelles possédant un motif géométrique bien particulier et pouvant absorber les chocs lorsque les pieds touchent le sol (si la semelle est sous tension longitudinale, elle s’élargira dans la direction orthogonale).

    On peut imaginer d’autres applications dans le domaine de la construction, l’aéronautique, protection (casque de moto), etc.

Métamatériaux acoustiques

Un métamatériau acoustique est un matériau conçu pour contrôler, diriger et manipuler les ondes sonores qui pourraient se produire dans les gaz, les liquides et les solides. [7] La recherche sur ces matériaux se base principalement sur la théorie de l’indice de réfraction négatif [8] : tandis que les composés naturels réfractent un faisceau incident en lui faisant décrire un angle vers la droite, les métamatériaux peuvent le réfracter avec un angle négatif, et le faire ainsi émerger plus à gauche. Cette caractéristique est définie pour les ondes électromagnétiques, mais peut être étendue pour certaines bandes de fréquence de son : l’analogie de la permittivité et la perméabilité (négatives) dans les milieux d’indices négatifs est le module de compression et la densité de masse.
Remarque: le module de compression négatif signifie qu’à certaines fréquences, le milieu se dilate lorsqu’on le comprime. La densité de masse négative signifie que le milieu accélère vers la gauche lorsqu'il est poussé vers la droite. Ce sont donc ces caractéristiques qui définissent les métamatériaux à indice négatif.

Figure: indice de réfraction négatif pour une onde se propageant vers un milieu.
Source: [9]

Source: [10]

Vidéo pour visualiser le comportement d'un matériau à indice de réfraction négatif: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Negative_refraction.ogv

Les équations qui régissent le comportement des ondes lumineuses sont sensiblement les mêmes que celles auxquelles obéissent les ondes mécaniques. Ce qui est vrai pour les ondes électromagnétiques est vrai aussi pour les ondes acoustiques et sismiques. Des indices de réfraction négatifs pour des matériaux acoustiques n’ont jamais été trouvés dans la nature, il faut donc fabriquer artificiellement ces milieux transmetteurs.

Applications:

  • Lévitation acoustique

    • Vidéos du phénomène:
    https://www.youtube.com/watch?v=BcVxRyvipcU
    https://www.youtube.com/watch?v=nKAwYGcP9_s

    On utilise des briques unités de métamatériaux manufacturées. Ces briques introduisent un changement de phase allant de 0 à 2 pi. En créant plusieurs couches de méta-surface contenant plusieurs de ces briques différentes, on peut ainsi créer un métamatériau acoustique. Ensuite on applique un champ de pression acoustique désiré à une certaine distance de notre méta-surface et cela conduit à une certaine distribution spatiale du champ acoustique. Grâce à cela, on peut faire léviter de petits objets (sphère de polystyrène).

    Pour en savoir plus: article Nature des vidéos ci-dessus: https://www.nature.com/articles/ncomms14608.pdf

  • Isolation acoustique

    • Vidéos du phénomène:
    https://www.youtube.com/watch?v=hMCfRHshjXc
    https://www.youtube.com/watch?v=ejnF0OzkroAs
    (Le métamatériau construit ici permet de réduire le bruit dans la bande fréquence 700-1000 Hz.)

    On peut construire des maisons insonorisées, améliorer l’acoustique des salles de concert, éloigner le bruit de certaines zones, utilisation pour l’armée : dissimulation des sous-marins à la détection par sonar et donc créer des sous-marins totalement indétectables.

  • Métamatériaux sismiques

    • On peut protéger des bâtiments et infrastructures des séismes ou protéger les bâtiments côtiers des tsunamis en les plaçant directement au centre d’un métamatériau façonné à même le sol (technologie de contrôle des vibrations). Cela peut se faire en forant des trous de plusieurs mètres dans le matériau, disposés en anneaux concentriques autour de la zone à protéger. Le métamatériau gigantesque agirait comme une cape d’invisibilité en déviant les ondes sismiques au loin. [11]


    Figure: métamatériau sismique
    Source: [11]

Métamatériaux pentamodes ou métafluides

Les métamatériaux sont des structures artificielles tri-dimensionnelle qui, en dépit d’être un solide, se comporte comme un fluide. En effet, ces matériaux (qui peuvent posséder aussi un coefficient de Poisson négatif, module de compressibilité négatif, etc) sont facilement déformables dans certaines directions et montrent une résistance extrême à la déformation dans d’autres directions. Donc, ils possèdent un module de compressibilité très élevé (incompressible) et une faible résistance au cisaillement. On les appelle aussi métafluide. [12]

Informations complémentaires : Les valeurs propres du tenseur d’élasticité s’approchent soit de 0 (extrême « fluidité ») soit de l’infini (extrême rigidité). Le nombre de valeurs propres s’approchant de 0 donne le mode : pentamode. (↔ 5 paramètres de cisaillement = 0 et seulement 1 paramètre de compression diffère de cette valeur). Ces métamatériaux ont seulement pu être fabriqué à partir de 2012.


Figures: Structure en treillis d’un métamatériau pentamode (300µm)

Applications:

  • Méta-biomatériaux: régénération des tissus

    • Pour réparer un tissu ou un organe malade, on utilise des cellules souches qui vont remplacer les cellules malades. Pour transporter ces cellules souches, on pourrait utiliser un méta-biomatériau possédant les propriétés mécaniques et biologiques optimales dans le domaine des nanotechnologies. Ou alors, on peut imaginer de créer des tissus artificiels ayant des propriétés identiques à des tissus naturels.
    Aussi, les métamatériaux pentamodes peuvent être utilisés comme blocs de construction pour des matériaux ayant des propriétés élastiques complètement arbitraires (élasticité anisotrope).
    A noter que pouvoir fabriquer ces matériaux reste un challenge : il y a difficulté de reproduire le motif unitaire sur des volumes de tailles macroscopiques ainsi que la non-stabilité de ces structures liée à la faible résistance au cisaillement.

Métamatériaux topologiques

Topologie : Branche des mathématiques qui étudie les relations de position dans l’espace; elle s’intéresse donc à l’étude des espaces et aux propriétés qui les caractérisent. [13]

Les métamatériaux topologiques ne forment pas une sous branche à part, ils peuvent se retrouver dans plusieurs des métamatériaux décrits ci-dessus.
Les métamatériaux topologiques sont principalement conçus en pensant à la géométrie et la structure de l’objet.
Ces dernières années, la recherche fondamentale et appliquée liée à ces objets s’est fort développée afin de pouvoir trouver et fabriquer des matériaux avec de nouvelles propriétés physico-mécaniques inconnues (voir électromagnétique, acoustique, …). Pour ce faire, les physiciens conçoivent des méthodes informatiques de plus en plus complexes et optimisées. [14]

Vidéos de métamatériaux topologiques (parfois déjà sous forme d'application:
Le flipper: https://www.youtube.com/watch?v=_CmB2akd1i0
La poignée de porte: https://www.youtube.com/watch?v=lsTiWYSfPck
Bonus: https://www.youtube.com/watch?v=p-1-0IarwbE
(ici, on voit que si on presse l’objet avec une force constante, il se froisse à des rythmes différents d’un moment à l’autre)

Applications:

  • Robotique et robotique molle

    • On peut concevoir des métamatériaux mécaniques topologiques afin de les utiliser comme bloc unitaire pour des conceptions robotiques si on les active avec des moteurs.
    Les robots mous, càd les robots qui sont principalement constitués de parties non-rigides mais flexibles, pourraient bénéficier des progrès faits dans le domaine des métamatériaux.


    Figure: Robot mou rampant sous un obstacle
    Source: [15]

  • Matériaux intelligents

    • Une application future pourrait être la création de pare-chocs pour voiture à rigidité variable : le pare-chocs sera très mou et doux lors de la sortie d’une place de stationnement, tandis que sur la route, il sera très rigide pour protéger les occupants du véhicule lors d’un accident. [16]

Bibliographie

Les références de l'article lui-même susceptibles d'avoir été utilisées sur cette page :
  • Lakes, R. Foam structures with a negative Poisson's ratio. Science 235, 1038-1040 (1987).
  • Grima, J. N. & Evans, K. E. Auxetic behavior from rotating squares. J. Mater. Sci. Lett. 19, 1563-1565 (2000).
  • Kadic, M., Bückmann, T., Stenger, N., Thiel, M. & Wegener, M. On the practicability of pentamode mechanical metamaterials. Appl. Phys. Lett. 100, 191901 (2012).
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