Étude du comportement d’un fluide en écoulement sur un lit de cils flexibles

Tamara Dejardin, Odile André, Maï Nicolas & Romain Haag

  • 2017 - ULB - BA3 Physique
La quasi-totalité de l'intérieur de notre corps est recouverte de micro-cils. Ces saillies inactives, déformables et allongées recouvrent de nombreuses surfaces de systèmes biologiques. Par exemple, les micro-villosités dans les intestins, les papilles sur la langue, les cils primaires des cellules rénales ou encore les lamelles tertiaires des branchies des poissons. Ces lits de cils sont immergés dans des fluides, et sont assez déformables pour se courber en réponse à l'écoulement du fluide. Mais comment l'écoulement est-il modifié en réponse à cette déformation? Et comment, en retour, la déformation des poils varie-t-elle lorsqu'a lieu cette modification? Cette question a été résolue dans le cas de fluides ayant un nombre de Reynold élevé, c'est-à-dire pour les fluides peu visqueux comme l'eau ou le sang. Néanmoins, le problème est longtemps resté irrésolu pour les fluide très visqueux. Afin de résoudre ce probème, José Alvarado, ingénieur en mécanique, a établi un modèle biomimétique composé d'un lit de cils en élastomère (type de plastique aux propriétés élastiques) immergé dans un fluide très visqueux. Alvarado conclut que, malgré les propriétés linéaires d'élasticité des cils et de viscosité du fluide, le couplage entre l'écoulement du fluide et la déformation des cils génère une réponse non-linéaire du système à l'écoulement. Tant que le lit est formé de telle sorte que lorsque le système est au repos, les cils sont perpendiculaires à la paroi, la réponse du système reste la même, que le fluide s'écoule vers la gauche ou vers la droite. En revanche si au repos les cils ont une inclinaison par rapport à la surface et pour un nombre de Reynold suffisamment faible (écoulement lent ou viscosité élevée), le comportement du système dépend sensiblement du sens de l'écoulement du fluide. Une telle asymétrie peut être utilisée dans l'élaboration de composants microfluidiques intégrés tels que les diodes et les pompes.

Fig.1: photographie de cils en élastomère sec [1]

Bien que l'ensemble des structures rigides qu'on trouve dans la nature présentent des propriétés linéaires de déformation, les matériaux mous ne réagissent pas de la même manière. En effet, les déformations de stuctures molles sont non-linéaires, mis à part pour de petites déformations, qui engendrent une réponse linéaire.

Un exemple fondamental de ce genre de structures, en biologie, sont les lits de fibres élastiques, ou cils, immergés dans un fluide. Dans ce cas bien précis, le taux de déformation du cil est directement lié à la vitesse de l'écoulement du fluide en question. Les petits cils, dont la taille varie de 1 à 100𝜇m, recouvrent les surfaces de nombreux systèmes biologiques comme, par exemple, les micro-villosités présentes dans les intestins(Fig.2). Plusieurs études ont déjà traité de ce sujet, dont une étude importante réalisée par Steven Vogel sur les forces hydrodynamiques s'exerçant sur des feuilles d'arbres. Cette étude visait à décrire comment les contraintes d'écoulement peuvent induire des déformations non-linéaires de ces feuilles, qui tendent à réduirent les forces de frottement et donc entraînent des modifications de l'écoulement [2] . Cependant, ces études ont toutes été effectuées pour un nombre de Reynold élevé. Le nombre de Reynold est une quantité qui caractérise le régime d'écoulement d'un fluide. Un nombre de Reynold élevé correspond à un écoulement turbulent (Anim.1). Le problème de reconfiguration de l'écoulement sur des lits de cils mous pour un faible nombre de Reynold, c'est-à-dire pour des écoulements sans turbulences, ne pouvait pas être mathématiquement résolu jusqu'au travail d'Alvarado.



Fig.2: micrographie électronique à transmission
colorée de micro-villosités intestinales [9]


Anim.1: La substance du dessus
possède une viscosité moindre que
celle du dessous

\mbox{\underline{Nombre de Reynold:}}\\ \boxed{Re=\frac{\rho V L}{\mu}}\\ \mbox{avec:}\\\rho: \mbox{ la masse volumique du fluide }[kg/m^3]\\ V: \mbox{ vitesse caractéristique du fluide }[ms^{-1}]\\ L: \mbox{ dimension caractéristique }[m]\\ \mu:\mbox{ viscosité dynamique du fluide }[kgm^{-1}s^{-1}]

Ici nous allons donc nous intéresser au cas où les cils sont soumis à un écoulement laminaire (à faible nombre de Reynold). Dans ce contexte, Alvarado remarque que la réponse du système à l'écoulement présente deux types bien distincts de non-linéarité: une réduction de la résistance à l'écoulement et une "rectification" de l'écoulement, cette dernière étant conséquente à une hausse de l'impédance. De façon générale, l'impédance mécanique est la mesure de la résistance qu'une structure soumise à une force donnée oppose à son propre mouvement (ou à sa propre mise en mouvement). L'impédance est donc ici la résistance qu'opposent les cils au passage du fluide.



Avant de rentrer dans les détails plus théoriques, il est important de comprendre le mécanisme d'un dispositif communément utilisé en mécanique des fluides: le dispositif de Taylor-Couette. Il a pour vocation de mesurer la résistance d'un fluide à son écoulement. Il consiste en deux cylindres concentriques. Le fluide étudié se trouve dans l'espace confiné entre les deux cylindres et l'un des deux cylindres (en général le cylindre intérieur) est mis en rotation à l'aide d'un moteur. La rotation du cylindre met en mouvement le fluide et l'on mesure la puissance qu'il est nécessaire de fournir à notre moteur pour faire tourner le cylindre à une vitesse donnée. En faisant additionnellement cette mesure lorsque l'espace entre les deux cylindres est vide, cela nous donne la résistance du fluide à l'écoulement (Vid.1).


Fig.3: Dispositif de Taylor-Couette [10]


Vid.1:video représentant le mécanisme de Taylor-Couette pour un fluide très visqueux
Tab.1: Données de “ Nasto,A.etal.Air entrainment in hairy surfaces.Phys.Rev.Fluids1, 033905(2016).”

Dans le but d'étudier le couplage dynamique poils/fluide, l'on modifie légèrement le dispositif de Taylor-Couette. La surface externe du cylindre intérieur est recouverte de poils ( voir Vid 1 ). Voici un petit tableau reprenant les tailles caractéristiques des éléments du dispositif.

Qu'ont donné les mesures avec un tel dispositif? Dans le cas où les poils étaient rigides, l'on s'est juste aperçu qu'il fallait plus de puissance au moteur pour faire tourner le cylindre à une vitesse fixée, que s'il n'avait pas été pas recouvert de poils. Mais tout comme dans ce dernier cas, la puissance nécessaire à apporter au moteur afin de faire tourner le cylindre à une vitesse donnée, augmente linéairement avec cette vitesse. En revanche, dans le cas de poils déformables, il semblerait que la relation entre la puissance à apporter et la vitesse du cylindre ne soit plus linéaire. Dans le graphique Vid 1; a, ci-dessous, on observe très clairement cette non-linéarité. Sur ce graphique, la contrainte de cisaillement \tau équivaut à la puissance à fournir au moteur. La ligne grise discontinue représente la contrainte de la paroi sur le fluide dans le cas où celle-ci est lisse, la ligne grise continue correspond au cas où elle est recouverte de poils rigides, et les petits carrés blancs décrivent l'évolution de la contrainte avec des poils déformables. Ces courbes sont bien les courbes observées si les poils sont accrochés perpendiculairement à la paroi, mais si les poils possèdent une inclinaison par rapport à la surface, la contrainte dépend du sens dans lequel on tourne le cylindre. Si le sens de rotation du cylindre est tel que le fluide s'écoule, relativement à la paroi du cylindre mis en rotation, dans le sens du poil, le taux de croissance de la contrainte diminue à mesure qu'augmente la vitesse à atteindre. Le cas est donc similaire au cas des poils flexibles perpendiculaires à la paroi. En revanche pour un fluide allant à l'encontre du poil, la contrainte augmente plus rapidement à mesure que la vitesse augmente. En d'autres mots, pour un écoulement contre le poil, si l'on est dans le cas de poils flexibles, la puissance nécessaire pour atteindre une vitesse donnée est plus grande que si les poils sont rigides. On observe donc, par rapport au cas des cils rigides, une résitance à l'écoulement (pour une vitesse donnée) qui diminue si l'inclinaison des poils est telle que le fluide se déplace dans le sens de cette inclinaison et une résistance qui, au contraire, augmente si le fluide s'écoule dans le sens inverse.


Fig.4: Schéma représentant la géométrie de Taylor-Couette modifiée avec R_{i} le rayon interne,
R_{0}=R_{i}+H le rayon externe et L la longeur des cils déformables.
a: Vue du haut. b: Vue d'en face [7]


Fig.5: Graphique représentant l'évolution de la contrainte de cisaillement en fonction de la vitesse [11]

La réduction de la résistance à l'écoulement est caractérisée mathématiquement par une quantité \tilde{Z}, l'impédance redimensionnée. Afin de modéliser mathématiquement le comportement du système, nous étudierons une situation analogue à la situation expérimentale, à la différence près que nous considérerons la paroi couverte de cils comme fixe, alors que c'est la paroi opposée, i.e. le cylindre extérieur, qui met le fluide en mouvement. Il s'agit donc simplement d'un changement de référentiel, où la vitesse du fluide étudiée dans le modèle mathématique correspond à la vitesse (en changeant le signe) du cylindre en rotation dans le modèle expérimental.

Comme expliqué ci-dessus, pour étudier ce phénomène, Alvarado a élaboré un dispositif expérimental basé sur la géométrie de Taylor-Couette, à laquelle il a ajouté un lit de cils en élastomère (Fig.1) sur le cylindre interne en rotation, immergé dans le liquide (Fig.4). Grâce à ce dispositif, Alvarado a pu déterminer une quantité \tau appelée la contrainte de cisaillement, déjà introduite plus haut. Il s'agit de l'action du fluide sur les cils, qui engendre une modification de leur courbure. Naturellement, \tau dépend de la vitesse v de la surfaces du lit de cils. Ce qui ici est surprenant en revanche, comme on a pu le constater sur le précédent graphique, c'est que lorsqu’on fait tourner le cylindre intérieur à accélération constante, la contrainte de cisaillement \tau augmente de façon constante, jusqu’à une certaine valeur de v. Pour des vitesses supérieures, \tau continue d'augmenter, mais plus de façon linéaire: c'est l'effet des cils, qui répondent de façon non-linéaire à la contrainte que leur impose le fluide (Fig.5).

Pour essayer de comprendre cette non-linéarité, Alvarado a tout d'abord tenté de déterminer comment l'écoulement du fluide affecte la configuration spatiale du cil. Il en a conclu que la position de l'extrémité du lit de cils, que nous notons h, dépend de la contrainte de cisaillement et qu'inversément, cette dernière depend de la position de l'extrémité du lit de cils (en effet, si les cils sont plus "applatis", le fluide a plus d'espace dans la cavité pour passer et la contrainte de cisaillement est moindre). On a donc un couplage dynamique entre ces deux phénomènes. Pour caractériser cette interdépendance, on utilise la quantité Z appelée "l'impédance d'aire spécifique" et mettant en relation la vitesse du cylindre et la contrainte de cisaillement du système:

Z(v)=\frac{\tau(v)}{v}
On peut exprimer ce rapport autrement, pour que l'impédance Z ne dépende plus que d'une variable, à savoir la hauteur h(v) du lit de cils. Si les cils sont parfaitement rigides, alors la hauteur ne change pas et Z vaut une constante, que l'on appelle Z_0. À mesure que la vitesse du fluide grandit, la hauteur des cils tend vers 0 et l'impédance s'approche d'une quantité Z_{\infty}, correspondant au cas où la surface est lisse (sans cils) et où l'impédance du système est donc la plus faible (Fig.6). Afin de prédire le comportement de Z(v), on considère que les cils sont assez resserrés pour pouvoir se déformer tous de la même manière, et pour que le flux de liquide à l'intérieur du lit de cils soit négligeable. Nous pouvons maintenant définir explicitement l'impédance redimensionnée \tilde{Z}, qui en termes des valeurs limites précédemment introduites, s'exprime comme
\tilde{Z}=\frac{Z-Z_{\infty}}{Z-Z_O}

Alvarado a déterminé une équation différentielle afin de calculer sur ordinateur l'impédance redimensionnée en fonction de la force de viscosité F_{visc} qui cause la déformation des poils. Sous l'hypothèse, mentionnée ci-dessus, d'un lit de cils suffisamment dense, il traite cette force comme s'il s'agissait d'une force ponctuelle s'appliquant sur un seul poil. Comme la force de viscosité dépend de \tau, Alvarado l'exprime en terme de la hauteur h du lit de cils, qui est fixée si les cils sont à l'équilibre dynamique. Nous ne nous attardons pas sur cette équation compliquée, et nous contentons ici d'étudier les comportements de l'impédance redimensionnée dans les limites où v\rightarrow \infty et v \rightarrow 0.

Comme nous l'avons dit plus haut, dans la limite où v \rightarrow \infty, h \rightarrow 0 et Z \rightarrow Z_{\infty}. Dans ce cas de grandes déformations des cils, on obtient que \tilde{Z} diminue comme h et on peut se ramener à un problème étudié avant Alvarado, dont la solution est une impédance redimensionnée proportionnelle à v^{-1/2}. Lorsque v \rightarrow 0, les cils sont faiblement déformés. À nouveau, le problème peut être résolu "à la main" et l'on obtient comme solution que \tilde{Z} dépend d'une unique quantité \tilde{v}, appelée la vitesse redimensionnée, proportionnelle à la vitesse v de la paroi lisse. Cette quantité \tilde{v} dépend de deux paramètres, dont la combinaison détermine donc complètement \tilde{Z}, la réponse du système à l'écoulement. Le premier est le paramètre élastico-visqueux, qui compare la viscosité du fluide à l’élasticité des poils; le second est le degré de confinement, qui est le rapport entre les hauteurs L et H. En modifiant ces paramètres, Alvarado a réussi à représenter par ordinateur une courbe universelle de \tilde{Z}(\tilde{v}) (Fig.7), qui était cohérente avec les expressions obtenues pour les valeurs limites de la vitesse. Le cas \tilde{v}=1 sépare les cas où le lit de cils est faiblement et fortement déformé.

La déformation de solides flexibles dans un fluide à petit nombre de Reynold (écoulement sans turbulences), conduit en général à une modification de la viscosité. On observe alors expérimentalement que F_{visc} est proportionnelle à v^{1+V}, où v est la vitesse de la paroi lisse et V l’exposant de Vogel. De façon équivalente, Z est proportionnelle à v^{V}. On a vu que dans les cas limites de grandes déformations et de petites déformations, l’impédance rééchelonnée tend vers une constante (Z_{\infty} et Z_0 respectivement): en effet dans ces cas-là V s’annule, si bien que \tilde{Z} ne dépend plus de v. Mais lorsqu’on est dans le régime intermédiaire \tilde{v}=1, que l’on appelle régime de reconfiguration, l’exposant de Vogel est négatif, i.e. la viscosité du fluide diminue.




Fig.6: Graphique représentant l'évolution de l'impédance en fonction de la vitesse (pour des cils droits) [12]


Fig.7: Graphique représentant l'évolution de l'impédance redimensionnée en fonction de la vitesse redimensionnée. [13]

Jusqu'à présent, l'on s'est concentré sur le cas de cils perpendiculaire par rapport à la surface. Comme nous l'avons déjà dit, dans ce cas idéal, la réponse des poils à l’écoulement du fluide est indépendante du sens dans lequel le fluide s'écoule. Lorsque les poils forment avec la paroi un angle différent de 90° (Fig.8), cette symétrie sous inversion du sens d'écoulement est brisée. Bien qu’à grand nombre de Reynold, la formation de tourbillons est alors sensiblement affectée par l’inversion du sens d’écoulement (ce qui modifie la réponse des poils), on a à faible nombre de Reynold (où les turbulences n’apparaissent pas), que si les cils sont rigides la symétrie est conservée. Cela dit, si les poils ne sont pas perpendiculaires à la paroi et sont flexibles, même à faible nombre de Reynold l'impédance du système est en général asymétrique. On observe alors le sond type de non-linéarité, la rectification d'écoulement, qui traduit le chagement de l'impédance du système selon que le fluide s'écoule "dans le sens du poil" ou "contre le poil". Cette seconde de non-linéarité est caractérisée par le rapport Z_{+}/Z_{-}. Cette quantité compare les impédances dans les cas où le fluide s'écoule dans le sens contraire ( Z_{-}) ou dans le même sens ( Z_{+}) que la direction d'inclinaison des cils (Fig.9).

Dans le modèle mathématique, la seule hypothèse qui se voit changée est l’angle \phi_0 formé par le cil et le plan perpendiculaire à la paroi \phi_0\ne 0. Cette différence induit de nouvelles expressions pour les différentes impédances ( Z_{-}) et ( Z_{+}), qui s’expriment maintenant en termes du paramètre supplémentaire \phi_0.

Lorsque l’écoulement se fait « dans le sens du poil », le comportement est sensiblement le même que dans le cas \phi_0=0. L’impédance rééchelonnée \tilde{Z} n’est en effet pas modifiée significativement, et l’exposant de Vogel reste négatif (l'impédance est réduite ou, dit autrement, la viscosité diminue). La réponse des poils dans ce sens-ci correpond donc toujours à une réduction de la résistance à l'écoulement.

Pour un écoulement « contre le poil », la réponse est très différente selon la valeur de la vitesse v. On utilise ici le rapport Z_{+}/Z_{-}. On observe qu’à petites vitesses Z_{-}>Z_{+}, le rapport est supérieur à 1 et l’exposant de Vogel est alors positif, i.e. la viscosité augmente. Mais dans la limite v \rightarrow \infty, le rapport est proche de 1 et l’exposant de Vogel redevient négatif.


Pour faire clair, lorsque \phi_0\ne 0, l'impédance du système et donc aussi la contrainte de cisaillement \tau dépendront du sens de rotation du cylindre. Si la vitesse relative du fluide est telle que celui-ci va dans le sens du poil, le résultat reste qualitativement le même que si \phi_0 = 0: la résistance à l'écoulement faiblit et \tau diminue. En revanche, si le fluide va « contre le poil », les cils se redressent à mesure que la rotation du cylindre s’accélère, ce qui cause une augmentation de la résistance à l'écoulement, et par conséquent une diminution de la vitesse du fluide et une valeur de \tau plus grande. On comprend donc pourquoi, lorsque les cils forment un angle avec la paroi, le lit de cils sert "de rectificateur au mouvement": si on fait tourner le cylindre dans un sens puis dans l’autre de façon répétée, les poils guideront le fluide dans leur sens d'inclinaison naturelle.


Fig.8: Lits de cils en élastomère ayant un angle différent de 90°
par rapport à la perpendiculaire au lit [14]


Fig.9: écoulement du fluide dans le sens du poil(d.), écoulement du fluide dans le sens
opposé du poil(e.). [13]

Applications

On peut trouver et observer plusieurs applications à ce phénomène dans divers domaines.

1-Médicales

Comme nous l’avons dit, c’est un sujet essentiel pour tout ce qui concerne la santé humaine, puisque l’intérieur de la plupart des canaux dans notre corps (canaux sanguins, lymphatiques, conduits auditifs, respiratoires), sont tapissés de ce que l’on appelle des cils vibratiles, dont les battements issus des réponses aux écoulements de fluides influencent justement cet écoulement. Un mauvais fonctionnement de ces cils s’avère être un sérieux handicap dans la vie quotidienne. Parlons par exemple de la diskinésie ciliaire primitive [3] . Il s’agit d’une maladie génétique entrainant une anomalie dans la structure du cil (trop court, base trop épaisse, etc), due à la non-synthétisation d'un certain complexe protéique, les dynéines, ce qui l’empêche de se courber lors du passage d’un fluide dans un canal. Ceci cause une stagnation de ce dernier, entraînant diverses complications: Dans la cavité nasale, les sinus sont tapissés de cils vibratiles qui permettent l’élimination du mucus. Comme les cils sont inefficaces, le mucus ne peut pas s’écouler, ce qui induit souvent une inflammation des tissus. Le problème se rencontre dans les poumons (Fig.10), ce qui augmente considérablement les chances d’avoir une bronchite. Pour le moment, ces maladies ne sont traitées que de façon thérapeutique, ou si la zone touchée est localisée et que la gêne est grave, on peut avoir une ablation des lobes touchées (notamment si cette maladie touche les poumons) Ainsi, la recherche sur la compréhension physique de l’effet de l’écoulement d’un fluide sur la courbure des cils, et sur la façon dont rétroactivement la courbure va modifier l’écoulement, peut être d’un grand intérêt à un niveau médical.


Fig.10: micro-cils présents dans les poumons
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2-Hydrodynamique

Pour trouver des applications en physique de la matière molle, il est souvent pratique de se pencher sur le monde animal. Un exemple des plus éloquents est celui du phoque commun et de ses moustaches. Des chercheurs de la Royal Society (Royaume Uni) [5] ont étudié leurs poils (et en particulier ces fameuses moustaches), et en sont venus à la conclusion qu’en plus d’agir comme isolants thermiques et de leurs permettre de capter des vibrations, elles ont également une fonction hydrodynamique . Chez les phoques (et fort probablement chez d’autres membres de la famille des phocidés), les poils de garde (poil dur poussant au-dessus du sous-poil) sont généralement disposés complètement à plat sur la peau du phoque, afin de réduire la friction avec l’eau quand ils nagent. Ce phénomène n’est pas en soi pas une surprise, puisqu’on remarque chez les nageurs par exemple que le fait de ne pas avoir de poil à la surface de la peau (ou de manière analogue qu’ils soient parfaitement à plat, pour garder leurs fonctions isolantes) permet une plus grande rapidité dans l’eau. Mais on peut se demander, et c’est là qu’apparaît tout l’intérêt, en quoi les moustaches peuvent être particulièrement utiles à la réduction de la trainée, tant la surface concernée est faible par rapport au reste du corps. Il se trouve que les vibrisses sont très sensibles à la détection des mouvements de l’eau, ce qui permet accessoirement à l’animal de suivre des pistes sous forme de trainées d’eau laissées par des poissons. Quand il suit ces pistes, les moustaches restent étonnement transverses à la direction de son déplacement, et ce de manière stable à cause de leurs forme ondulées, ce qui réduit les vibrations dues aux écoulement turbulents de l’eau. Le sous-poil permet aux moustaches de se maintenir dans cette position hydrodynamique. Ainsi, on peut s’inspirer du fait que les poils du phoque lui servent de détecteur et de stabilisateur hydrodynamique pour concevoir par exemple des combinaisons de plongée multifonctions.


Fig.11: Schéma d'une moustache du phoque


Fig.12: Phoque

Bibliographie