Matériaux Granulaires

Les matériaux granulaires peuvent, au même titre que le sable, être coulant ou rigide. Des changements déroutants dans les forces entre les grains approfondissent le mystère entourant cette transition fondamentale, mais mal comprise. Pourquoi le sable imite-t-il un solide quand nous marchons dessus, mais imite un fluide quand il est dans un sablier ? Pourquoi le sel ne coule-t-il que lorsque le recipient dans lequel il se trouve est suffisamment incliné ? Ces questions simples sont sans réponses claires, et ont inspiré ces dernières années des recherches sur ce qui se passe exactement quand les milieux granulaires perdent de leur rigidité. Deux articles suggèrent que la clé de cet énigme sont les réseaux formés par les forces de contact entre chaque particule granulaire. D'une part, Corwin, Jaeger et Nagel [1] se sont intéréssés aux différences statistiques des résaux de forces dans un état rigide, et puis dans un état "coulant" de la matière granulaire. D'autre part, Majmudar et Behringer [2] étudient les statistiques et la structure des réseaux de forces pour des systèmes sous forme rigide soumis à des contraintes de cisaillement ou de compression. Les deux expériences utilisent des matériaux photoélastiques (qui font tourner la polarisation de la lumière en fonction de la contrainte, visualisant ainsi les chaînes de forces entre les polariseurs) pour obtenir respectivement les forces entre les grains et la paroi et entre les grains, eux mêmes.

Introduction

Les matériaux granulaires possèdent plusieurs propriétés qui ne sont pas tout à fait comprises à ce jour, par exemple, pourquoi lorsqu'on marche sur du sable, il mimique un solide, mais pourtant, lorsqu'il est dans un sablier, il mimique un liquide en écoulement? Pourquoi le sel dans une salière ne s'écoule que lorsque la salière est suffisamment inclinée? Toutes ces questions ont suscité de vifs débats, et certains chercheurs ont décidé de chercher des explications à ces phénomènes.

Mais, tout d'abord, qu'est-ce qu'un matériau granulaire? Et bien la définition rigoureuse est un matériau composé de particules solides, des grains, qui ne sont pas liés par des liaisons covalentes. C'est justemment cet aspect d'indépendance entre grains qui va conférer à un matériau granulaire une grande partie de ces propriétés. Quelques exemples de matériaux granulaires sont le sable, le sel, le sucre, la farine, les médicaments, le ciment,les colloïdes...

On remarque que ces matériaux possèdent des propriétés à la fois identiques à celles d'un fluide et à celles d'un solide. Les matériaux granulaires s'écoulent par exemple comme des fluides, et épousent les parois du récipient dans lesquels on les verse, mais, à l'opposé des fluides,leur surface n'est pas plane après avoir été versés dans ce récipient. En général un matériau granulaire aura tendance à se comporter comme un solide lorsqu'on lui fournit peu d'énergie, alors qu'il se comportera comme un fluide dans le cas contraire.

Voici une vidéo illustrant le comportement fluidique du sable: Comportement fluidique du sable.

On voit bien que le sable dans lequel la bille tombe, réagit de la même manière qu'un fluide.

Une idée fondamentale pour comprendre les propriétés des matériaux granulaires est de comprendre leur réaction lorsqu'on applique une contrainte physique. C'est sur cela qu'ont travaillé T.S. Majmudar et R.P. Behringer dans leur expérience [2] où ils étudient les forces de contact entre grains et l'anisotropie induite par une contrainte dans ces matériaux, ainsi que Eric I.Corwin, Heinrich M.Jaeger et Sidney R.Nagel dans leur expérience sur la compression de matériaux granulaires [1] .

Quelques définitions...

Avant de nous embarquer dans la description de l'expérience, expliquons quelques concepts importants.

Commençons par le concept d'anisotropie . On dit qu'un matériau est anisotrope si certaines de ses propriétés dépendent de la direction dans laquelle le matériau est orienté. Une telle propriété est par exemple la biréfringeance. Ne vous inquiétez pas, nous y reviendrons plus loin, mais voici déjà l'effet de la biréfringence du Calcite : Propriété de biréfringence du Calcite ( CaCo_3 ).

Les deux expériences utilisent les forces de cisaillements. Mais qu'est-ce que c'est?
Une force de cisaillement est simplement une force appliquée de manière tangentielle au matériau étudié. Plus explicitement sur la figure:

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La force de cisaillement est donnée par F_T =\frac{\tau}{A}.
Où F_T est la force tangentielle appliquée sur le matériau, A est l'aire sur laquelle on applique cette force et \tau est une constante de cisaillement, caractéristique du matériau. [4]
En plus de cette force de cisaillement, les deux expériences ont fait appel à la compression istropique , c'est-à-dire une contrainte uniforme appliquée perpendiculairment à la surface du matériau.

Ces deux forces vont faire apparaître un réseau de forces dans le matériau granulaire, qu'on appelle chaîne de force [5] . Ce concept est propre aux matériaux granulaires. Il décrit le fait que lorsqu'on apllique une force sur ce matériau, elle va se propager de grain en grain en suivant une structure de chaîne. Dans cette structure, certains grains vont subir la majeure partie de la charge dûes aux contraintes, tandis que d'autres, n'en subiront qu'une infime partie. On a remarqué que plus les forces de contact augmentent, moins il y a aura de grains qui vont supporter la charge totale. Ces grains qui portent une charge supérieure, vont former un réseau de forces très solide, alors que les autres grains feront partie d'un réseau de forces plus faibles.
Regardons de plus près le réseau de forces solide formé par les grains soumis à une charge plus grande. Ce réseau a une carctéristique spatiale particulière, les forces sont portées par des groupes de grains qui forment des chaînes, les chaînes de forces.

On peut rendre ces chaînes de forces visibles en utilisant des grains fait à partir d'un matériau photoélastique. Lorsqu'on fait passer une lumière polarisée au travers d'un matériau photoélastique, ce dernier change de couleur sous l'application d'une contrainte à l'endroit où la force agit. Afin de visualiser les chaînes de forces il suffit donc de placer un ensemble de grains photoélastiques entre deux polariseurs croisés, d'éclairer le système et d'appliquer une contrainte.
Voici une vidéo mettant en évidence ces chaînes de forces à l'aide de matériaux photoélastiques: Mise en évidence des chaînes des forces.

Mais qu'est-ce que la photoélasticité [6] ? La photoélasticité est l'apparition du phénomène de biréfringence [7] dans un matériau lorsqu'on lui applique une contrainte. La biréfringence, elle, est une propriété optique propre à certains matériaux, qui induit une double réfraction de la lumière lorsqu'on la projete sur ce matériau. Cette double réfraction aura pour conséquence un changement de la polarisation de la lumière. La biréfringence est directement liée à l'anisotropie du matériau, qui elle, induit des indices de réfraction différents en fonction de son orientation.

• NB La polarisation est une propriété de la lumière, qui décrit l'oscillation du champ électrique. Celui-ci peut osciller dans une seule direction, on parle alors de polarisation linéaire, sinon elle peut tourner autour d'un axe, et on parle alors d'une polarisation circulaire.

Etude d'un milieu granulaire

Afin de mieux comprendre l'étendue du mystère qui entoure les matériaux granulaires, nous avons décidé de décrire en détail l'expérience effectuée par Majmudar et Behringer [2] . Pour cela nous nous sommes reférés à l'article de Nature, écrit par ces deux chercheurs, paru en 2005.

Dispositif éxperimental

Le dispositif mis en place par Majmudar et Behringer leur a permis d'observer et d'étudier les chaînes de forces au sein d'un matériau granulaire .

Pour cela ils ont pris une plaque de plexiglas, placée horizontalement, sur laquelle sont ensuite posés 2500 disques photoélastiques de deux tailles différentes (0.8 ou 0.9 cm de diamètre, et 0.6 cm de hauteur). Ils ont ensuite placé un polariseur circulaire en dessous de la plaque de plexiglas et un autre au-dessus des disques (de plus, ces polariseurs sont croisés, ce qui est important pour l'expérience). Le dispositif est alors illuminé par en desous, à l'aide d'une lumière polarisée et une caméra haute définition placée au-dessus du dispositif, permet de capturer les images. Finalement, les disques sont enfermés par un cadre mobile, qui va permettre d'appliquer des contraintes aux disques. Ce cadre est composé de deux axes qui peuvent être déplacés indépendemment l'un de l'autre à un vitesse de 0.024 cm/s grâce à un moteur. Si l'un des axes est déplacé vers l'intérieur, alors que l'autre est déplacé vers l'extérieur, on va exercer une contrainte de cisaillement. Par contre si les deux axes sont déplacés vers l'intérieur, on aura affaire à une compression isotropique du système.

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La méthode expérimentale est la suivante: initialement le système ne subit aucune contrainte, puis progressivement et de manière quasi-statique une contrainte, soit de cisaillement, soit de compression, est appliquée.
Finalement l'appareil photo permet de prendre des images d'une partie du sytème (10% du nombre total de particules). L'avantage de ce dispositif expérimental est qu'il est automatisé et permet donc de répéter plusieurs fois la manipulation de manière quasi identique, ce qui offre la possibilité d'en retirer desdonnées statistiques.

Méthode numérique de détermination des forces de contact

Après avoir décrit avec précision le dispositif permettant de mettre en évidence les chaînes de forces, il faut pouvoir en déduire une distribution au sein du matériau. Pour cela, Majmudar et Behringer ont utilisé le couplage de deux méthodes, l’une constituant une approximation en deux dimensions du système et l’autre, numérique, permettant de vérifier que l'approximation utilisée est correcte et qui, de plus, permettra de vérifier la véracité des distributions obtenues.
Afin de bien comprendre le déroulement du processsus, nous avons suscité les explications des auteurs de l’article, que nous remercions vivement. Voici comment se déroule finalement la méthode :

Supposons que nous ayons accès aux forces de contact et à leur position avec exactitude. Dans ce cas, nous pourrions en déduire les contraintes qui induisent ces forces (également avec exactitude) car celles-ci constituent une fonction linéaire des forces de contact. A partir de ces contraintes il est possible de recréer le motif photoélastique des chaînes de forces, et cela grâce à une méthode mathématique rigoureuse, mais non-linéaire, qui permet d'associer le motif aux contraintes. On aurait ainsi une image exacte concordant parfaitement avec la réalité.

Dans l'expérience de Majmudar et Behringer, la situation est tout autre. Disposant d’une image photographique des chaînes de forces, la connaissance exacte de leurs valeurs n'est pas à disposition, il faudra donc en déduire une approximation. [9]
Pour cela, Majmudar et Behringer se sont placés dans un système à deux dimensions, qui, on le verra, sera dans une première mesure une très bonne approximation. Afin de réaliser une estimation des forces de contact, Majmudar et Behringer ont appliqué une regression linéaire [10]( utilisant la méthode des moindres carrés non-linéaire [11]) au motif de chaque particule.
Après avoir effectué ce processus, ils disposaient d’une approximation des forces de contact à partir des photos obtenues. Mais comment vérifier si les estimations sont correctes et si les valeurs obtenues sont cohérentes? Pour cela, il suffit d’appliquer la méthode de reconsitution numérique explicitée plus haut.
Ainsi en reconstruisant une image informatique des chaînes de forces à partir des forces déduites par la régression linéaire, et en la comparant avec l'image photographique expérimentale, il est possible de prouver (ou non) la véracité des valeurs obtenues.

La conclusion est intéressante puisqu’on voit que les deux images concordent avec une erreur allant de 10 pourcent pour les faibles forces à 5 pourcent pour les forces plus importantes.

Analyse des distributions

Avec ceci, il est possible de construire une distribution des forces. Plus spécifiquement,il est possible de construire une distribution pour les forces tangentielles et normales séparement pour un système soumis à une compréssion isotropique et pour un cisaillement.

Commençons par la distribution des forces normales dans les deux systèmes. Dans celui soumis au cisaillement la distribution se termine de manière exponentielle pour des forces plus grandes que la moyenne (Fig4. a).
En comparaison, pour un système compressé isotropiquement, la distribution décroit beaucoup plus rapidement (Fig4. c).
Enfin, pour les forces tangentielles, la distribtution forme bien une queue exponentielle pour des forces plus importantes que la valeur moyenne dans les deux systèmes différents (Fig4. a, c).

Les figures 4 b et 4 c s'intéressent au rôle de la friction dans les deux systèmes. Ce rôle est cependant très complexe et fait appel à des notions qui ne sont pas essentielles dans le cadre de cette description. Nous avons donc décié de ne pas en discuter.

Analyse de l'anisotropie provoquée par la contrainte de cisaillement

Intéressons nous à présent à une propriété importante engendrée par une contrainte de cisaillement sur un système. Rappellons les notions importantes que sont l’anisotropie et l’isotropie. Ainsi, on parlera d’isotropie lorsqu’une propriété physique ne dépend pas de l’orientation, de suite, on comprend qu’une compression isotrope est ,bien entendu, une compression uniforme dans toutes les directions.
L’anisotropie quant à elle, caractérise une propriété qui est directement dépendante de la direction. Ainsi dans le cas d’un système cisaillé, on remarquera l’apparition de deux types d’anistropies différentes : l’une géométrique qui affecte directement l’angle de contact entre les particules et l’autre mécanique directement liée à la disposition des chaînes de forces. Regardons ces deux cas en détails :

Analyse de l'anisotropie géométrique

Comme introduit plus haut, les contraintes de cisaillement engendrent différents types d'anisotropies. Nous introduirons donc ici celles créant une dépendance spatiale de l'angle de contact entre les particules. Ainsi, en relevant la distribution de ces angles dans les différents systèmes, on remarque que dans le cas du cisaillement, les particules s'agencent en grande majorité dans une direction similaire aux chaînes de forces tandis qu'une partie minoritaire a tendance à suivre la direction perpendiculaire à celles-ci. Au contraire, dans le cas d'un système compressé, il n'y a pas de ligne directrice suivie par les grains, ce qui nous permet de conclure que l'anisotropie au sein des angles de contact se produit bien lors de contraintes ien spécifiques.

Analyse de l'anisotropie mécanique

Afin d’etudier l’anisotropie au sein même des forces de contact, nous pouvons analyser la dépendance angulaire de la valeur moyenne des forces normales. C'est ce que Majmudar et Behringer ont fait, et ils ont remarqué dans le système cisaillé,la valeur moyenne dépend explicitement de l’angle selon lequel on "regarde" le matériau. Plus précisément, avec une période de π la valeur moyenne revient à son maximum, ce qui se traduit par le fait que le long d’une ligne de visée bien précise le système est soumis à une contrainte plus importante, ce qui est bien la définition de l’anisotropie mécanique. En revanche pour un sytème compressé, l’etude de la moyenne de la force normale sous une varitation angulaire ne revèle aucune symétrie, et on a donc bien que le système est isotrope.

En étudiant graphiquement la variation angulaire de la force normale moyenne \langle F_n \rangle (normalisée par sa valeur maximale), Majmudar et Behringer ont observé qu'il y a une dépendance angulaire de la force moyenne pour le système cisaillé (Figure 5 c ), alors que dans le cas du système compréssé le shéma est très chaotique (Figure 5 d)

Conclusion de l'expérience

Résumons les résultats trouvés par Majmudar et Behringer dans l'expérience décrite ci-dessus.

Dans un premier temps ils ont comparé les distributions de forces pour un système cisaillé et pour un système compressé. Ils ont trouvé que pour des grandes forces, les distributions des forces tangentielles avaient une queue exponentielle dans les deux cas, mais par contre la distribution des forces normales finissait en queue exponentielle uniquement lorsqu'ils ont appliqué une contrainte de cisaillement, et dans le cas de la compression isotrope, la décroissance de la distribution était beaucoup plus rapide.
Ensuite ils ont étudié l'anisotropie au sein des forces de contact et ils ont observé que le système cisaillé était plutôt anisotrope, alors que le système compressé était isotrope.

Toutes ces observations faites par Majmudar et Behringer ont permis d'ouvrir un nouveau régime de comparaison entre modèle théorique et modèle expérimental.

Afin de vérifier que leurs résultats ne sont pas le fruit du hasard, Majmudar et Behringer comparent leur expérience à différentes autres expériences. Ils commencent par comparer leurs résultats aux résultats d'une des premières version modélisée des forces entre particules, la "simulation de dynamique des contacts de paricules rigides et soumis à de la friction sous une contrainte de cisaillement biaxiale" ("Contact dynamics simulations of rigid, frictional particules under biaxial shear"). En se restreignant à des forces très grandes (forces plus grande que la moyenne) et en tenant compte du fait que les conditions aux bords ne sont pas les mêmes, les deux expériences sont en accord. En effet pour un système soumis à une contrainte de cisaillement la simulation obtenue donne bien une queue exponentielle pour les grandes forces tangentielles et normales.

Deux autres modèles plus récents sont aussi en accord avec les découvertes de Majmudar et Behringer. Ce sont des modèles qui étudient les ditributions de forces en 2D pour un système de particules sans frottements, sous compression isotrope et sous cisaillement. L'une d'elle est le modèle de Snoeijer et al [12] et l'autre est le modèle "lattice" [13].

Recherche et developpement

[14]

Discutons maintenant de l'intérêt de faire de la recherche à propos de ce type de matériau.
Les matériaux granulaires sont en réalité omniprésents dans notre quotidien (sel, sable, médicament,...) ainsi que dans les domaines de la géophysique, de l'environnement, du génie civil, de l'énergie, des entreprises pharmaceutiques, etc.
Intéressons nous à certains de ces domaines en particulier à titre d'exemples.

1. Domaine de la géophysique et de l'environnement

   Considérons en particulier l'industrie minière, qui fait face à de nombreux problèmes liés aux matériaux granulaires.
   Dans le cas de mines souterraines, on rencontre beaucoup de problèmes en ce qui concerne la stabilité des galeries et leur comportement face à l'utilisation d'explosifs. Dans le cas de carrière on rencontre des problèmes liés à la stabilité des parois et à la perte de matière suite à l'érosion éolienne. En comprenant mieux les matériaux granulaires et leurs propriétées, on pourra peut être comprendre l'origine de certains accidents et trouver des solutions afin de les éviter.

   Un autre aspect de ce domaine est la stabilité des pentes. Environ 32 000 personnes meurent chaque année suite a des écoulements de terrains et une meilleure comprehension du phénomème pourrait peut être permettre de diminuer ce nombre. Ces instabilités de pentes peuvent se présenter sous différentes formes, on peut avoir des écoulements granulaires secs (avalanches rocheuses) ou des écoulements granulaires saturés d'eau (glissement de terrains); avec des origines multilples: climatiques, sismiques ou encore l'activité humaine.
   Un but de la recherche dans ce domaine en particulier est donc de minimiser les pertes humaines et les pertes économiques, et cela grâce à une meilleure compréhension de la propagation, du déclenchement et de l'arrêt de ces écoulements. On pourrait aussi mettre en oeuvre des dispositifs de protection autour des territoires sous occupation humaine et/ou de mieux planifier l'occupation de certains territoires.

2. Energie

   Commençons par considérer l'extraction des resources énergétiques fossiles. Ces extractions se font géneralement dans les sous sols (constitué principalement de matériaux granulaires). Encore une fois il est important de bien comprendre comment vont réagir ces matériaux aux forages pétroliers, à l'ancrage, afin d'optimiser ces aspects, ainsi que la sécurité des equipements, etc.
   Le but principal est donc de diminuer les risques de catastrophes environnementales et autres.

   Intéressons nous maintenant aux rôles que jouent les matériaux granulaires dans le domaine de l'écologie et des transitions énergétiques.
   En effet, ils sont nécéssaires pour la conception des fondations des hydroliennes et éoliennes offshore. Une autre application serait de produire des filtres composés de grains, qui filtreraient les particules fines provenant de la combustion des combustibles fossiles. Cette méthode est déjà utilisée dans le cas de masque à gaz, ceux-ci étant composé de filtres à charbon.
   Une autre possibilité serait de stocker du CO_2 dans les couches géologiques profondes.

3. Effet Voûte

   L’étude des chaînes de forces est relativement instructive lorsqu’on considère un matériau granulaire soumis à une contrainte verticale. On observera en effet une fuite de ces chaînes vers les parois latérales du récipient. Plus concrètement, lorsqu’une contrainte de ce type est appliquée à notre système, on lui remarquera une tendance à rediriger spontanément les forces de façon perpendiculaire à la surface. Ce phénomène diffère complètement du comportement connu pour un solide homogène soumis aux mêmes types de contraintes.
   Les implications de cette propriété sont multiples, mais la plus importante est sans doute l’effet voûte. On retrouve celle-ci dans les systèmes de stockages et de distribution de matière granulaire mais également, et principalement, dans le domaine architectural. Plus spécifiquement, la conception de ponts se base directement sur cet effet et a été compris il y a bien longtemps.
   On peut illustrer ceci par l’exemple d’un écoulement en silo. Les forces de containtes perpendiculaires dûes au poids de la couche de matériaux vont être redirigées systématiquement vers les parois latérales. Ainsi, des chaînes de forces se développent depuis des parois opposées et se rejoignent au centre du silo. Ce processus crée une certaine stabilité et empêche l’écoulement.

4. Stabilité des Barrages

   L’étude des matériaux granulaires est indispensable dans la conception de barrages.En effet, l’écoulement de ces systèmes varie drastiquement selon la masse volumique de fluide présent. Ainsi, suite à un apport de liquide au matériau granulaire, des ponts capilaires vont se former engendrant des forces attarctives à l’origine d’un changement d’"état" du système. Celui-ci se comportera donc comme un fluide et peut engendrer l’effondrement du barrage.
   L’intérêt est donc de connaître le seuil de transformation du matériau et d’en déduire le composant le plus âpte à la conception d’un barrage.

5. Industrie pharmaceutique

   L’industrie pharmaceutique traite également principalement des matériaux granulaires et nécéssite donc une compréhension de leurs propriétés. Que ce soit dans les principes actifs qui possèdent en grande partie une composition en poudre fine et qui doivent subir de nombreuses opérations de broyages ou dans les opérations de tri de millieu granulaire grossier qui serviront au conception de cachets, pillules,...

Sources

1. [1] Eric I.Corwin, Heinrich M.Jaeger & Sidney R.Nagel,Strctural signature of jamming in granular media, Nature, 435, 1075-1078, 23 June 2008. Lien Web
2. [2] T.S. Majmudar & R.P. Behringer Contact force measurments and stress-induced anisotropy in granular materials, Nature, 435, 1079-1082, 23 June 2008. Lien Web
3. [3] Fig1. https://intra-science.anaisequey.com
4. [4] Wikimonde, Contrainte de cisaillement , consulté en novembre 2017, Lien Web
5. [5] J. F. Peters, M. Muthuswamy, J. Wibowo, and A. Tordesillas, Characterization of force chains in granular material , Phys. Rev. E 72, 041307, 21 October 2005. Lien Web
6. [6] wikipedia, photoélasticité, consulté en novembre 2017, Lien Web
7. [7] wikipedia, biréfringeance, consulté en novembre 2017, Lien Web
8. [8] Fig2., Fig3., Fig4., Fig5.; T.S. Majmudar & R.P. Behringer Contact force measurments and stress-induced anisotropy in granular materials, Nature, 435, 1079-1082, 23 June 2008. Pris de: Lien Web [accessed 20 Dec, 2017]
9. [9] Frocht, M. M. Photoelasticity Vol. 1 (Wiley & Sons, New York, 1941) & Frocht, M. M. Photoelasticity Vol. 2 (Wiley & Sons, New York, 1948)
10. [10] Landau, L. Theory of Elasticity (Pergamon, New York, 1959)
11. [11] Press, W. H., Teukolsky, H. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1992)
12. [12] J. H. Snoeijer, T. J. H. Vlugt, M. van Hecke & W. van Saarloos, Force network ensemble: A new approach to static granular matter. Phys. Rev. Lett. 92, 054302 (2004)
13. [13] B. P., J. E. S. Socolar, D. G. Schaeffer, W. G. Mitchener & M. L. Huber, Force distributions in a triangular lattice of rigid bars. Preprint at khttp:// arXiv.org/cond-mat/0505003l (2005)
14. [14] Guilhem Mollon, Mecanique des matériaux granulaires , INSA Lyon, 2015,Lien Web
15. [15] Fig6. https://intra-science.anaisequey.com
16. [16] Fig6. Image du pont
17. [17] Fig7. Photo de JJ Harrison - Own work, CC BY-SA 3.0, Lien Web